POLIGONOS REGULARES

Los polígonos que tienen todos sus lados y todos sus ángulos iguales se llaman polígonos regulares. Por ejemplo, el polígono que tiene ocho ángulos y ocho lados iguales se llama octágono regular.

Otra vez, el triángulo y el cuadrilátero regulares son excepciones.

¿Cómo le llamamos normalmente a un triángulo regular?

¿Y a un cuadrilátero regular?

Como los polígonos regulares tienen todos sus ángulos iguales, es muy fácil calcular cuánto miden sus ángulos internos y sus ángulos externos. En general, cuando se habla de los ángulos internos de un polígono, se le refiere en singular, es decir se dice el ángulo interno del polígono, porque es el mismo valor para todos los ángulos.

Para verificar que hablamos en los mismos términos, establezcamos que el ángulo interno de un polígono es

el ángulo que forman dos lados que se tocan,

y el ángulo externo es aquel que forman un lado y la prolongación de otro que lo toca.

Una cosa más antes de empezar a calcular cuánto miden el ángulo interno y el ángulo externo de un polígono. Hace más de dos mil años, el matemático griego Euclides demostró que la suma de los tres ángulos internos de cualquier triángulo es exactamente 180º.

Ahora sí, empecemos... Tomemos como ejemplo un octágono. Lo primero que hacemos es dividir al octágono en triángulos trazando líneas desde uno de los vértices.

Fíjate que con estas líneas que trazamos hemos distribuido a los ángulos del octágono en diferentes triángulos. Por lo tanto, podemos decir que los ángulos de los triángulos forman los ángulos del octágono. Como hemos formado seis triángulos y como los ángulos de cada uno de ellos suman 180º, sabemos que la suma total de todos los ángulos del octágono es igual a lo que vale la suma de los ángulos en cada triángulo, es decir, 6 x 180º o sea 1080º.

Por lo tanto, la suma de los ocho ángulos del octágono regular es de 1080º. Ahora, como sabemos que todos los ángulos del octágono regular miden lo mismo, para saber cuánto mide cada uno de ellos, hay que dividir 1080º entre ocho. Luego, cada uno de los ángulos internos de un octágono regular mide 135º.

El ángulo interno y el ángulo externo son suplementarios, es decir, suman 180°. Así que para saber cuánto mide el ángulo exterior del octágono, sólo hay que restar 135° de 180°. El ángulo externo de un octágono mide 45°.

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Para poder sacar un fórmula, necesitamos hacer un generalización: saber cuántos triángulos se forman cuando trazamos diagonales desde un solo vértice.

En el caso del cuadrado, podemos trazar una única diagonal y obtenemos dos triángulos.

En el caso de un pentágono, podemos trazar dos diagonales y obtener tres triángulos.

Traza las diagonales de estos polígonos para que puedas llenar la siguiente tabla. Recuerda que sólo hay que trazar las diagonales desde uno de los vértices.

¿Podrías decir a partir de esta tabla cuál es la regla?

En matemáticas decimos que si n es el número de lados del polígono, desde un vértice se pueden trazar ( n -3) diagonales y obtenemos ( n -2) triángulos.

Ya casi acabamos. Recuerda que para saber cuánto mide el ángulo interno del octágono multiplicamos 6 x 180º (es decir, multiplicamos el número de triángulos por la cantidad que suman los ángulos internos de cada uno de ellos) y al final dividimos esta cantidad entre ocho, el número de lados del octágono.

Es eso precisamente lo que tenemos que hacer con cualquier polígono: multiplicar el número de triángulos ( n -2) por 180° y dividirlo entre el número de lados ( n ). La fórmula general queda entonces así:

Si n es el número de lados del polígono,

Ángulo interno =

Y para el ángulo externo, hay que restar esa cantidad de 180°, es decir

Ángulo externo = 180° –

Para terminar, hagamos un ejemplo. Calculemos los ángulos interno y externo de un eneágono. Como el número de lados es igual a 9,

Ángulo interno = = = = = 140°

Ángulo externo = 180° – = 180° – = 180° – 140° = 40°

Los polígonos son figuras formadas por varias líneas a las que llamamos lados. Para que una figura formada por líneas se considere un polígono es indispensable que estas líneas formen una figura cerrada. Por ejemplo, dos líneas que se cruzan no pueden formar un polígono porque no encierran un área, por eso el polígono con el menor número de lados es el triángulo.

La palabra polígono viene del griego polygonos . De polys que significa muchos y de gonia que significa ángulos. Digamos que la “traducción” más precisa de la palabra polígono sería “figura que tiene muchos ángulos”.

Éstos son los nombres de los polígonos de menos de veinte lados.

Para saber cómo se llama un polígono de menos de cien lados podemos hacer lo siguiente. Primero contamos el número de lados que tiene, hacemos una combinación de prefijos como se muestra a continuación y agregamos la terminación gono.

Por ejemplo, un polígono de 30 lados se llama triacontágono, mientras que uno de 63 lados se llama hexacontakaitrígono .

¿A poco no parecen trabalenguas? Para que puedas decir que te sabes el nombre de todos los polígonos de hasta cien lados, ahí va el que falta: el polígono de cien lados se llama hectágono. Como puedes ver, algunos nombres de polígonos son más fáciles de decir que otros. ¡Intenta construir los nombres de diferentes polígonos!

La regla es muy sencilla: saber cómo se dice el número de lados en griego y agregar la terminación –gono. Pero, no todos los nombres de los polígonos que utilizamos la siguen: el triángulo y el cuadrlátero.

¿Cómo crees que deberían llamarse el triángulo y el cuadrilátero siguiendo la regla antes mencionada?

El simple nombre de un polígono nos da información sobre el número de ángulos que tiene, pero, siempre decimos que un pentágono es una figura de cinco lados, que un hexágono es una de seis lados y, en general, que un polígono es una figura de muchos lados y no estamos diciendo ninguna mentira.

¿Crees que en todos los polígonos el número de lados coincide con el número de ángulos?

¿Por qué crees que ocurre así?